経営学(経済学) 資格全般

ゲーム理論(ベルトラン競争)『世界標準の経営理論』より

本日はゲーム理論の「ベルトラン競争」について、世界標準の経営理論(入山章栄 著)のP161 注7を参考に記事にしました。

前回のクールノー均衡は数量競争でしたが、ベルトラン均衡は価格競争となります。

 

 

数値例による説明

 

費用関数と需要関数

まず、企業1と企業2の費用関数と(逆)需要関数を下記の通り想定します。

企業1の費用関数 ⇒ C=10Q1 ・・・①
企業2の費用関数 ⇒ C=10Q2 ・・・②
企業1の需要関数 ⇒ Q=100-10P1+10P2 ・・・③
企業2の需要関数 ⇒ Q=100-10P+10P1 ・・・④

上式の①及び②は、前回の「クールノー均衡」と同じ式です。

1、 Q2はそれぞれ企業1、企業2の生産量、係数の”10”は1単位当たりの生産費用(=限界費用)で、2社の間に差はありません。

③と④の需要関数は前回の「クールノー均衡」とは異なります。

は企業1が設定する価格,Pは企業2が設定する価格で、両社は価格を引き下げることで、相手企業から顧客を奪うことができる状況を想定します。

③を例にとると、「-10P」は、P1が下がると企業1の数量(Q)が増えるということを意味します。一方、「+P」は、企業2が価格を引き上げると、企業1の数量(Q)が増加し、企業2が価格を引き下げるtと企業1の数量(Q)が減少することを意味します。

クールノー解では2社が(相手方の数量に応じて)生産数量を調整しましたが、「ベルトラン競争」では、価格競争を考えます。

 

企業1、企業2の利潤関数

次に企業の利潤を考えます。

企業の利潤(π)=収入―費用であり、「企業の利潤=生産数量×市場価格ー生産費用」と表現できます。

よって企業1の利益(π)と企業2の利益(π)は以下のように表されます。

なお、「ベルトラン競争」は「価格競争」なので、「利潤を価格の関数として表す(数量を消去する)」ことがポイントです。

 

企業1の利潤 ⇒ π=企業1の収入ー企業1の費用
⇒ π=P1-C=P1
-10Q
=P1(100-10P1+10P2)-10(100-10P1+10P2
=200P-10P+10P-100P+1000 ・・・ ⑤
企業2の利潤 ⇒ π=企業2の収入ー企業2の費用
⇒ π=PーC=P2-10Q
=P1(100-10P1+10P2)-10(100-10P1+10P2
=200P-10P+10P-100P+1000 ・・・ ⑥

 

利潤最大化条件(微分)と反応関数

⑤、⑥をそれぞれP、Pで微分して利潤最大化条件(=反応関数)を求めます。

\[\frac{\partial \Pi{_1}}{\partial p{_1}}=200-20P_1+10P_2-100=0 \Rightarrow P_1=10+\frac{1}{2}P_2\]

\[\frac{\partial \Pi{_2}}{\partial P{_2}}=200-20P_2+10P_1-100=0 \Rightarrow P_2=10+\frac{1}{2}P_1\]

まとめると、以下の通りとなります。

企業1の反応関数: P1=10+0.5P2  ・・・⑥´
企業2の反応関数: P2=10+0.5P1  ・・・⑦´

⑥´と⑦´を連立させて解くと、P1=10+0.5(10+0.5P1) ⇔ 0.75P1=15  ⇔ P1=15÷0.75=20
P1=20を⑦´に代入して、P2=10+0.5*20=20
したがって、P1=P2=20が「ベルトラン均衡」における均衡価格()となり、その時の生産数量(Q1=Q2)は、100-10*20+10*20=100となります。

生産数量:100、価格:20の下、各企業の利益(π=π)=(20-10)*100=1,000となります(2社合計の利益は、1,000×2=2,000となります。)

 

より直観的な説明

ここからは、世界標準の経営理論には書かれていない内容です。

個人の解釈になりますので、解釈が間違っていればご容赦ください。

 

「ベルトラン競争」の意味

まず、企業1の需要関数を以下のように変形します。

=100-10P1+10P2 ⇒  =100-10(P1-P2

変形後の需要関数を見れば一目瞭然ですが、企業2(相手企業)との価格差(P-P)が10以上開く(PがPより10以上高くなる)と、企業1は需要のすべてを失うことを意味します。

費用関数から各企業の限界費用(MC)は10なので、価格10未満では企業は生産しません。つまり、完全競争価格=10ということです。

例えば、企業1がP=40という価格設定をするとどうでしょうか。

この場合、企業2は価格(P2)を30に設定すれば、Q=100-10・(10)=0となるので、企業1の製品は1つも売れず、企業2がすべての需要を奪います。そして、企業2は1単位当たり(30-10=)20の超過利潤を享受できることになります。

これは企業1にとって望ましい結果ではありません。こうした望ましくない結果を招いたのは、企業1の設定価格(P)が高すぎたからです。

一方、企業1がP=15と価格設定をするとどうでしょうか。企業2はP2=5とすればすべての需要を奪うことができますが、限界費用(10)を下回ってしまうので、P=10未満の価格水準で生産することはありません。

 

では、企業1は価格をどの水準に設定すればよいでしょうか。

ここで、先の計算例の計算結果を援用して考察します。

計算例では企業1、企業2の均衡均衡格()は20でした。

まず企業1は、企業2が打ち出す最低価格ライン(想定P)は10になると考えます

しかし、企業1はP=10とするのは得策ではありません。なぜなら、P=10では、超過利潤が生じないからです。

例えば、P=12とすれば、企業2に多少需要は奪われるものの、企業1は超過利潤を得ることができます。

企業2も価格を10より少し上げた方が利潤が増えるので、企業1と同じことを考えます。

 

結局、企業1は企業2が設定する価格(想定P)と10以上差がつかないような最高価格(P)を考えればよいわけです。

したがって、企業1の設定する価格(P)は10(想定P)+10=20となります。

企業2も企業1と同様に考えるので、結局=20となります。

 

微分(数学)を使わなくても、「ベルトラン競争」の数値例の意味は理解いただけると思います。

 

設例を拡張する

非弾力的な需要関数

設例とは別の以下のような需要関数を想定します。

=100-2P1+2P2 ⇒  =100-2(P1-P2

この需要関数の意味するところは、企業2(相手企業)との価格差(P-P)が50以上開くと、企業1は需要のすべてを失うということです。

設例の需要関数は「価格差が10開くとすべての需要を奪われる」ものだったので、上記の需要関数の方が価格非弾力的となります。

なお、完全競争価格(超過利潤がゼロとなる価格)は同じく10です。

新たな需要関数を前提に、企業1は企業2との価格差が50以下となるように(できるだけ高い)価格を設定することになります。

したがって、企業1の設定する価格は10(完全競争価格)+50=60となります。

企業2も企業1と同じように考えるので、結局均衡価格()は60となります。

 

実際に、上記の需要関数を用いて計算してみると、均衡価格(P=P)は60になることが確認できます。

元の設例よりも需要の価格弾力性が小さくなっているので、均衡価格も20 → 60と高くなっています。

価格競争が緩やかになっているわけです。

 

弾力的な需要関数

続いて、設例よりも需要の価格弾力性が大きい、次のような需要関数を考えます。

=100-201+20P2 ⇒  =100-20(P1-P2

この場合は、価格差(PーP)が5になると需要をすべて失うので、均衡価格は10+5=15となります。

元の設例より価格が低く、価格競争が激化していることが分かります。

こちらも実際に計算すれば、均衡価格が15になることが確かめられます。

 

まとめ

より一般化した形の Q=100-α(P-P)という需要関数を考えます。

蛇足ですが、Q=100-αP+αP2 なので、設例ではα=10としていることになります。

ここで、α → ∞とすると、価格差(P-P)→0となり完全競争に帰着します(Pを企業1の価格、Pを企業1以外の価格と考えれば、2企業の事例で完全競争の状況を扱うことができます。)

この場合、企業の限界費用(MC)水準に価格が決まる(MC=P)ので、均衡価格は10です。

いずれにしても、価格差がなければ(P=Pであれば)、企業1、企業2ともに需要量100単位を確保できるので、企業の最適行動は、「出来るだけ高い水準で相手と同一の価格を設定すること」になるわけです。

しかし、「ベルトラン競争」では(相手と協力できない非協力ゲームなので)、価格競争に陥ってしまうことになります。

 

本日は以上です。

 

 

 

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