ゲーム理論（クールノー均衡）『世界標準の経営理論』より

社労士の勉強をずっと続けているとさすがに飽きてくるので、気分転換に正月休みに少し毛色の違う本買ってきて読書をしています。

購入した本は世界標準の経営理論（入山章栄著）です。

かなり厚い本なのでまだ半分ほどしか読み終わっていませんが、この本の中に掲載されている経済学の「ゲーム理論」について、複占（Ｄuopoly）市場における「クールノー均衡」を簡単な数値例で確認したいと思います。

数値例は上記書籍のP157の注５を使用しています。

なお、「クールノー均衡」では、プレーヤーが自社の生産量を通じて利潤最大化を図るモデルとなります。

目　次

数値例の解説

費用関数と需要関数

まず、企業１と企業２の費用関数と（逆）需要関数を下記の通り想定します。

企業1の費用関数　⇒　Ｃ_１＝１０Ｑ_１・・・①

企業2の費用関数　⇒　Ｃ_２＝１０Ｑ_{２　・・・②}

需要関数　⇒　Ｐ＝１００－（Ｑ_１＋Ｑ_２）　・・・③
なお、Ｑ＝Ｑ_１＋Ｑ_２

上式の①及び②において、Ｑ₁、Ｑ₂はそれぞれ企業１、企業２の生産量、係数の「10」は１単位当たりの生産費用（＝限界費用）を表しています。また、２社は同じ費用関数を持っています。

③は市場の（逆）需要関数で、縦軸に市場価格（Ｐ）、横軸に数量（Ｑ）をとって、経済学のお馴染みのグラフで表現すると、右下がりの直線になります。この需要関数は、市場価格（Ｐ）が２つの企業の合計生産数量（Ｑ＝Ｑ_１＋Ｑ_２）によって左右されることを意味しています。

企業1、企業2の利潤関数

次に企業の利潤を考えます。

企業の利潤（π）＝収入―費用です。

収入＝市場価格×数量なので、「企業の利潤（π）＝市場価格×数量ー生産費用」と表現できます。

企業１の利益（π_１）と企業２の利益（π_２）は以下のように表されます。

企業１の利潤　⇒　π_１＝企業１の収入ー企業１の費用
⇒　ＰＱ_１－Ｃ_１＝ＰＱ_１－１０Ｑ_１　・・・　④

企業２の利潤　⇒　π_２＝企業２の収入ー企業２の費用
⇒　ＰＱ_２ーＣ_２＝ＰＱ_２－１０Ｑ_１　・・・　⑤

ここで④、⑤に③（需要関数）を代入してＰを消去すると、利潤は生産数量の関数として以下のように表されます。

π_１＝ＰＱ_１－１０Ｑ_１＝{１００－（Ｑ_１＋Ｑ_２）}Ｑ_１－１０Ｑ_１＝９０Ｑ_１－Ｑ_１^２－Ｑ_１Ｑ_２・・・　⑥

π_２＝ＰＱ_２－１０Ｑ_２＝{１００－（Ｑ_１＋Ｑ_２）}Ｑ_２－１０Ｑ_２＝９０Ｑ_２－Ｑ_２^２－Ｑ_１Ｑ_２・・・　⑦

利潤最大化条件と反応関数

⑥、⑦をそれぞれＱ_１、Ｑ_２で微分して利潤最大化条件（＝反応関数）を求めます。

\[\frac{\partial \Pi{_1}}{\partial Q{_1}}=90-2Q_1-Q_2=0 \Rightarrow Q_1=45-\frac{1}{2}Q_2\]

\[\frac{\partial \Pi{_2}}{\partial Q{_2}}=90-2Q_2-Q_1=0 \Rightarrow Q_2=45-\frac{1}{2}Q_1\]

まとめると、以下の通りとなります。

企業1の反応関数： Q₁=45-0.5Q₂・・・⑥´

企業2の反応関数： Q₂=45-0.5Q₁・・・⑦´

⑥´と⑦´を連立させて解くと、Q₁=45-0.5(45-0.5Q₁) ⇔　0.75Q₁=22.5 　⇔　Q₁=22.5÷0.75=30
Q₁=30を⑦´に代入して、Q₂=45-0.5＊30＝30
したがって、Q₁=Q₂=30が「クールノー均衡」における企業１、企業２の生産量となり、その時の価格（P）は、100－(30＋30)＝40となります。