ゲーム理論（ベルトラン競争）『世界標準の経営理論』より

本日はゲーム理論の「ベルトラン競争」について、世界標準の経営理論（入山章栄著）のP161 注7を参考に記事にしました。

前回のクールノー均衡は数量競争でしたが、ベルトラン均衡は価格競争となります。

目　次

数値例による説明

費用関数と需要関数

まず、企業１と企業２の費用関数と（逆）需要関数を下記の通り想定します。

企業1の費用関数　⇒　Ｃ_１＝１０Ｑ_１・・・①

企業2の費用関数　⇒　Ｃ_２＝１０Ｑ_{２　・・・②}

企業1の需要関数　⇒　Ｑ_１＝１００－１０Ｐ₁+１０Ｐ₂　・・・③

企業2の需要関数　⇒　Ｑ_２＝１００－１０Ｐ_２+１０Ｐ_１・・・④

上式の①及び②は、前回の「クールノー均衡」と同じ式です。

Ｑ₁、Ｑ₂はそれぞれ企業１、企業２の生産量、係数の”10”は１単位当たりの生産費用（＝限界費用）で、２社の間に差はありません。

③と④の需要関数は前回の「クールノー均衡」とは異なります。

Ｐ_１は企業１が設定する価格，Ｐ_２は企業２が設定する価格で、両社は価格を引き下げることで、相手企業から顧客を奪うことができる状況を想定します。

③を例にとると、「－10Ｐ_１」は、Ｐ₁が下がると企業１の数量（Ｑ_１）が増えるということを意味します。一方、「＋Ｐ_２」は、企業２が価格を引き上げると、企業1の数量（Ｑ_１）が増加し、企業2が価格を引き下げるtと企業１の数量（Ｑ_１）が減少することを意味します。

クールノー解では２社が（相手方の数量に応じて）生産数量を調整しましたが、「ベルトラン競争」では、価格競争を考えます。

企業1、企業2の利潤関数

次に企業の利潤を考えます。

企業の利潤（π）＝収入―費用であり、「企業の利潤＝生産数量×市場価格ー生産費用」と表現できます。

よって企業１の利益（π_１）と企業２の利益（π_２）は以下のように表されます。

なお、「ベルトラン競争」は「価格競争」なので、「利潤を価格の関数として表す（数量を消去する）」ことがポイントです。

企業１の利潤　⇒　π_１＝企業１の収入ー企業１の費用
⇒　π_１＝Ｐ₁Ｑ_１－Ｃ_１＝Ｐ₁Ｑ_１－１０Ｑ_１＝Ｐ₁（１００－１０Ｐ₁+１０Ｐ_2）－１０（１００－１０Ｐ₁+１０Ｐ₂）
＝２００Ｐ_１－１０Ｐ_１^２＋１０Ｐ_１Ｐ_２－１００Ｐ_２＋１０００　・・・　⑤

企業２の利潤　⇒　π_２＝企業２の収入ー企業２の費用
⇒　π_２＝Ｐ_２Ｑ_２ーＣ_２＝Ｐ₂Ｑ_２－１０Ｑ_１
＝Ｐ₁（１００－１０Ｐ₁+１０Ｐ_2）－１０（１００－１０Ｐ₁+１０Ｐ₂）
＝２００Ｐ_２－１０Ｐ_２^２＋１０Ｐ_１Ｐ_２－１００Ｐ_１＋１０００　・・・　⑥

利潤最大化条件（微分）と反応関数

⑤、⑥をそれぞれＰ_１、Ｐ_２で微分して利潤最大化条件（＝反応関数）を求めます。

\[\frac{\partial \Pi{_1}}{\partial p{_1}}=200-20P_1+10P_2-100=0 \Rightarrow P_1=10+\frac{1}{2}P_2\]

\[\frac{\partial \Pi{_2}}{\partial P{_2}}=200-20P_2+10P_1-100=0 \Rightarrow P_2=10+\frac{1}{2}P_1\]

まとめると、以下の通りとなります。

企業1の反応関数： P₁=10+0.5P_{2 　・・・⑥´}

企業2の反応関数： P₂=10+0.5P_{1 　・・・⑦´}

⑥´と⑦´を連立させて解くと、P₁=10+0.5(10+0.5P₁) ⇔　0.75P₁=15 　⇔　P₁=15÷0.75=20
P₁=20を⑦´に代入して、P₂=10+0.5＊20＝20
したがって、P₁=P₂=20が「ベルトラン均衡」における均衡価格（Ｐ^※）となり、その時の生産数量（Q₁=Q₂）は、100－10*20+10*20=100となります。

生産数量：100、価格：20の下、各企業の利益（π_１＝π_２）＝（20－10）＊100＝1,000となります（２社合計の利益は、1,000×2＝2,000となります。）

より直観的な説明

ここからは、世界標準の経営理論には書かれていない内容です。

個人の解釈になりますので、解釈が間違っていればご容赦ください。

「ベルトラン競争」の意味

まず、企業１の需要関数を以下のように変形します。

Ｑ_１＝１００－１０Ｐ₁+１０Ｐ₂　⇒　　Ｑ_１＝１００－１０（Ｐ₁－Ｐ₂）

変形後の需要関数を見れば一目瞭然ですが、企業２（相手企業）との価格差（Ｐ_１－Ｐ_２）が10以上開く（Ｐ_１がＰ_２より10以上高くなる）と、企業１は需要のすべてを失うことを意味します。

費用関数から各企業の限界費用（ＭＣ）は10なので、価格10未満では企業は生産しません。つまり、完全競争価格＝10ということです。

例えば、企業１がＰ_１＝４０という価格設定をするとどうでしょうか。

この場合、企業２は価格（Ｐ_２）を30に設定すれば、Ｑ_１＝１００－１０・（１０）＝０となるので、企業１の製品は１つも売れず、企業２がすべての需要を奪います。そして、企業２は１単位当たり（３０－１０＝）２０の超過利潤を享受できることになります。

これは企業１にとって望ましい結果ではありません。こうした望ましくない結果を招いたのは、企業１の設定価格（Ｐ_１）が高すぎたからです。

一方、企業１がＰ_１＝15と価格設定をするとどうでしょうか。企業２はＰ₂＝５とすればすべての需要を奪うことができますが、限界費用（10）を下回ってしまうので、Ｐ_２＝10未満の価格水準で生産することはありません。

では、企業１は価格をどの水準に設定すればよいでしょうか。

ここで、先の計算例の計算結果を援用して考察します。

計算例では企業１、企業２の均衡均衡格（Ｐ^※）は20でした。

まず企業１は、企業２が打ち出す最低価格ライン（想定Ｐ_２）は10になると考えます。

しかし、企業１はＰ_１＝１０とするのは得策ではありません。なぜなら、Ｐ_１＝１０では、超過利潤が生じないからです。

例えば、Ｐ_１＝１２とすれば、企業２に多少需要は奪われるものの、企業１は超過利潤を得ることができます。

企業２も価格を１０より少し上げた方が利潤が増えるので、企業１と同じことを考えます。

結局、企業１は企業２が設定する価格（想定Ｐ_２）と10以上差がつかないような最高価格（Ｐ_１）を考えればよいわけです。

したがって、企業１の設定する価格（Ｐ_１）は10（想定Ｐ_２）＋10＝20となります。

企業２も企業１と同様に考えるので、結局Ｐ^※＝20となります。

微分（数学）を使わなくても、「ベルトラン競争」の数値例の意味は理解いただけると思います。

設例を拡張する

非弾力的な需要関数

設例とは別の以下のような需要関数を想定します。

Ｑ_１＝１００－２Ｐ₁+２Ｐ₂　⇒　　Ｑ_１＝１００－２（Ｐ₁－Ｐ₂）

この需要関数の意味するところは、企業２（相手企業）との価格差（Ｐ_１－Ｐ_２）が50以上開くと、企業１は需要のすべてを失うということです。

設例の需要関数は「価格差が10開くとすべての需要を奪われる」ものだったので、上記の需要関数の方が価格非弾力的となります。

なお、完全競争価格（超過利潤がゼロとなる価格）は同じく10です。

新たな需要関数を前提に、企業１は企業２との価格差が50以下となるように（できるだけ高い）価格を設定することになります。

したがって、企業1の設定する価格は10（完全競争価格）＋50＝60となります。

企業２も企業１と同じように考えるので、結局均衡価格（Ｐ^※）は60となります。

実際に、上記の需要関数を用いて計算してみると、均衡価格（Ｐ_１＝Ｐ_２）は60になることが確認できます。

元の設例よりも需要の価格弾力性が小さくなっているので、均衡価格も20 → 60と高くなっています。

価格競争が緩やかになっているわけです。

弾力的な需要関数

続いて、設例よりも需要の価格弾力性が大きい、次のような需要関数を考えます。

Ｑ_１＝１００－２０Ｐ₁+２０Ｐ₂　⇒　　Ｑ_１＝１００－２０（Ｐ₁－Ｐ₂）

この場合は、価格差（Ｐ_１ーＰ_２）が５になると需要をすべて失うので、均衡価格は１０＋５＝１５となります。

元の設例より価格が低く、価格競争が激化していることが分かります。

こちらも実際に計算すれば、均衡価格が１５になることが確かめられます。

まとめ

より一般化した形の　Ｑ_１＝１００－α（Ｐ_１－Ｐ_２）という需要関数を考えます。

蛇足ですが、Ｑ_１＝１００－αＰ_１＋αＰ_２なので、設例ではα＝10としていることになります。

ここで、α → ∞とすると、価格差（Ｐ_１－Ｐ_２）→０となり完全競争に帰着します（Ｐ_１を企業1の価格、Ｐ_２を企業１以外の価格と考えれば、２企業の事例で完全競争の状況を扱うことができます。）

この場合、企業の限界費用（ＭＣ）水準に価格が決まる（ＭＣ＝Ｐ）ので、均衡価格は10です。

いずれにしても、価格差がなければ（Ｐ_１＝Ｐ_２であれば）、企業１、企業２ともに需要量100単位を確保できるので、企業の最適行動は、「出来るだけ高い水準で相手と同一の価格を設定すること」になるわけです。

しかし、「ベルトラン競争」では（相手と協力できない非協力ゲームなので）、価格競争に陥ってしまうことになります。

本日は以上です。

<br />

にほんブログ村